整除に関する定理2

定理

cがたがいに素である2数a,bで割り切れるならば、cは積abで割り切れる

証明

問題文は以下のように置き換えることができる

$$ c=aq \land c = bq \land \mathrm{gcm(a)} = \lbrace 1, a \rbrace \land \mathrm{gcm(b)} = \lbrace 1, b \rbrace \Rightarrow c = abq $$

少なくともcは{1, a, b}を約数として持つ。すなわち

$$ c = 1 \times a^n \times b^m $$

と因数分解できる。すなわち

$$ c = 1 \times (ab)^k \times a^n \times b^m $$

と書くことができる。よってcはabを約数に持つ＝割り切れる。…Q.E.D