3次式の展開の公式

定理

$$ (a+b)(a^2 -ab + b^2) = a^3 + b^3 $$

証明

$$ (a+b)(a^2 -ab + b^2) = (a+b)a^2 + (a+b)(-ab) + (a+b)b^2 = a^3 + a^2b -a^2b – ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 $$

定理

$$ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3 $$

証明

$$ (a-b)(a^2 + ab + b^2) = (a-b)a^2 + (a-b)ab + (a-b)b^2 = a^3 – a^2b + a^2b – ab^2 + ab^2 -b^3 = a^3 – b^3 $$

定理

$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

証明

$$ (a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)a + (a^2 + 2ab + b^2)b = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

定理

$$ (a-b)^3 = a^3 -3a^2b + 3ab^2 – b^3 $$

証明

$$ (a-b)^3 = (a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = a^3 -3a^2b + 3ab^2 – b^3 $$