平方根の性質

定理

$$ a \geq 0 \Rightarrow (\sqrt{a})^2 = a, (-\sqrt{a})^2 = a, \sqrt{a} \geq 0 $$

証明

定義より自明

定理

$$ (a \geq 0 \Rightarrow \sqrt{a^2} = a), (a < 0 \Rightarrow \sqrt{a^2} = -a) \Rightarrow \sqrt{a^2} = |a|$$

証明

$$ a \geq 0 $$の場合は自明

$$ a < 0 $$ のとき、

$$ -a = a'(a’ \geq 0) $$とすると、$$ \sqrt{a’^2} = a’ = -a $$

故に

$$ \sqrt{a^2} = |a| $$

定理

$$a \geq 0 \land b \geq 0$$のとき、

$$ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

証明

$$ s^2 = a, t^2 = b $$とするとき、

$$ s = \pm \sqrt{a}, t = \pm \sqrt{b} \Leftrightarrow st = \sqrt{a}\sqrt{b} $$

また

$$ s^2t^2 = ab \Leftrightarrow (st)^2 = ab \Leftrightarrow st = \sqrt{ab} $$

ゆえに

$$ \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

定理

$$a \geq 0 \land b \geq 0$$のとき、

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

証明

$$ s^2 = a, t^2 = b $$とするとき、

$$ s = \pm \sqrt{a}, t = \pm \sqrt{b} \Leftrightarrow \frac{s}{t} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$

また

$$ \frac{s^2}{t^2} = ab \Leftrightarrow (\frac{s}{t})^2 = ab \Leftrightarrow \frac{s}{t} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

故に$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

定理

$$a \geq 0 \land k \geq 0$$のとき、

$$ \sqrt{k^2a} = k\sqrt{a} $$

証明

$$ \sqrt{k^2a} = \sqrt{k^2}\sqrt{a} = |k|\sqrt{a} $$

$$ k > 0 $$より

$$ \sqrt{k^2a} = k\sqrt{a} $$